线性代数学习笔记完整版
1 行列式
1.1 方程组与行列式
1.1.1 二元线性方程组和二阶行列式
1.1.2 三元线性方程组和三阶行列式
1.2 n 阶行列式
1.2.1 排序与逆序数
1.2.2 n 阶行列式
a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann=(j1j2⋯jn)∑(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn
每次计算, 每组每行取一个, 且每行不重复
例如:
a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44
则某一项为
a12a24a31a43
判断符号为(按行 1234 ) τ(2413)=3
或(按列 1234 ) τ(3142)=3
1.3 行列式的性质和计算
1.3.1 行列式的性质
性质1 n 阶行列式行列互换, 值不变, 记作 D=DT
性质2 互换两行, 行列式变号, 记作 ri↔rj
性质3 某行同乘 k , 行列式乘 k
性质4 行列式某行各元素为两数之和, 行列式等于两行列式之和
a11⋮ai1+ai1′⋮an1a12⋮ai2+ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain+ain′⋮ann=a11⋮ai1⋮an1a12⋮ai2⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain⋮ann+a11⋮ai1′⋮an1a12⋮ai2′⋮an2⋯⋯⋯a1n⋮ain′⋮ann
性质5 某行乘 k 加到另一行, 值不变, 记作 ri+krj
对于列, 则将 r 换为 c
推论1 某两行对应相等, 行列式为零
推论2 某两行成比例, 行列式为零
推论3 某行全为零, 行列式为零
1.3.2 行列式的计算
化为上三角
- 保证主对角线没有零
- rn−kr1 , 使 rn 首项为零 (n>1)
- rn−kr2 , 使 rn 第二项为零 (n>2)
- ⋯
- 成为上三角后, 计算主对角线元素乘积
1.4 行列式按行展开
1.4.1 拉普拉斯展开定理
定义1 行列式中划去 aij 所在行列, 剩下元素构成的行列式称 aij 的余子式, 记作 Mij ; 余子式加上代数符号 (−1)i+j 称为代数余子式, 记作 Aij , 即 Aij=(−1)i+jMij
定理1 (拉普拉斯展开定理)行列式等于其任一行各元素与其代数余子式乘积之和
即
D=k=1∑naikAik,i=1,2,⋯,n
定理2 行列式任一行各元素与另一行对应元素代数余子式乘积之和为零
即
k=1∑naikAjk=0i=j,i=1,2,⋯,n
1.4.2 拉普拉斯展开定理应用
范德蒙德行列式
Dn=1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1=1≤j<i≤n∏(xi−xj)
1.5 克拉默法则
定理1 (克拉默法则)
n 个方程的 n 元方程组
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn
若其系数行列式
D=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann=0
则线性方程组有唯一解
记作
x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn
其中 Dj(j=1,2,⋯,n) 为用常数项 b1,b2,⋯,bn 代替 D 中 j 列对应元素所得行列式
即
Dj=a11⋮an1⋯⋯a1,j−1⋮an,j−1b1⋮bna1,j+1⋮an,j+1⋯⋯a1n⋮ann
2 矩阵
2.1 矩阵及其运算
2.1.1 矩阵的概念
定义1 m×n 个数 aij(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n) 有序排为 m 行 n 列的数表称 m 行 n 列的矩阵, 简称 m×n 矩阵, 记作 (aij)m×n
a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn
矩阵可以和线性方程组形成一一对应关系
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm
2.1.2 矩阵的运算
- 矩阵的加法与减法
定义2 两个同型矩阵的和, 为各个元素和构成的矩阵
- A+B=B+A
- (A+B)+C=A+(B+C)
- A+O=A
- A−B=A+(−B)
A,B,C 为 m×n矩阵, O 为同型零矩阵
当 A=(aij)m×n,−A=(−aij)m×n , 称为负矩阵
- 矩阵的数乘
定义3 矩阵 (λaij)m×n 为数 λ 与矩阵 A 的乘积, 简称数乘, 记作 λA , 为各元素与数乘积构成新矩阵
- (λμ)A=λ(μA)=μ(λA)
- λ(A+B)=λA+λB
- (λ+μ)A=λA+μA
- 矩阵的乘法
定义4 矩阵 A=(aik)m×s,B=(bkj)s×n , 则 C=(cij)m×n 为 A,B 乘积, 记作 C=AB
矩阵 AB 第 i 行第 j 列元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列各个元素乘积之和
一横乘一竖, 对应相乘后相加
A=(120130),B=4−12110 AB=(1∗4+0∗(−1)+3∗22∗4+1∗(−1)+0∗21∗1+0∗1+3∗02∗1+1∗1+0∗0)=(10713)
一般地, AB=BA , 即矩阵乘法不满足交换律
一般地, AC=AD 时, 不一定有 C=D , 即矩阵乘法不满足消去律
- (AB)C=A(BC)
- A(B+C)=AB+AC
- (λA)B=A(λD)=λ(AB)
定义5 若 AB=BA , 则称 A 与 B 可交换, 简称 AB 可换
- 矩阵的转置
定义6 将 m×n 矩阵 A=(aij)m×n 行列互换后, 得到的 n×m 矩阵称为 A 的转置, 记作 AT
- (AT)T=A
- (A±B)T=AT±BT
- (λA)T=λAT
- (AB)T=BTAT
2.1.3 方阵
行列数相同的矩阵成为方阵, 行(列)数成为阶数 n , n 阶方阵记作 An
A 为 n 阶方阵, 可定义乘方运算
Am=A⋅A⋅⋯⋅A
显然
Am⋅Al=Am+l,(Am)l=Aml
一般地, (AB)m=AmBm
方阵 A 构成的行列式记作 ∣A∣ 或 det(A) . 若 ∣A∣=0 , 则称 A 为非奇异矩阵
- ∣λA∣=λn∣A∣
- ∣AB∣=∣A∣∣B∣
- ∣Am∣=∣A∣m
方阵 A 主对角线元素成为对角元, 对角元全为 1 其余元素全为 0 的 n 阶方阵称 n 阶单位矩阵, 记作 En 或 In , 即
En=101⋱01n×n
对于任意矩阵 Am×n, 有
Am×nEn=Am×n,EnAm×n=Am×n
几个重要方阵
2.1.3.1 对角矩阵
a110a22⋱0ann
简记为 diag(a11,a22,⋯,ann)
若对角线都相等, 成为数量矩阵
两对角矩阵和或积仍为对角矩阵, 对角元为对应对角元和或积
2.1.3.2 三角形矩阵
分为上三角和下三角
2.1.3.3 对称矩阵与反称矩阵
AT=A 的矩阵为对称矩阵, AT=−A的矩阵为反称矩阵
对称矩阵沿主对角线对称, 反称矩阵沿主对角线成相反数
A+AT 为对称矩阵, A−AT 为反称矩阵
任意矩阵可表示为一个对称矩阵和一个反称矩阵和
A=21(A+AT)+21(A−AT)
2.2 矩阵的初等变换与秩
2.2.1 矩阵的初等变换
定义1 对矩阵执行下面三种变形, 称为矩阵的初等行变换
- 互换 i,j 两行, 记作 ri↔rj
- 将第 i 行乘上 λ , 记作 ri×λ
- 将第 j 行乘上 λ 后加到第 i 行上, 记作 ri+λ×rj , 或 ri+λrj
若对列执行, 称为矩阵的初等列变换
初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换, A 初等变换为 B , 记作 A→B
对 A 进行如下初等行变换, 得到 B , 称为行阶梯形矩阵
A=10−11−112012131102012−1r3+r1r4−r11000−111112221111012−1r4+r2r3−r21000−110012001100011−2r4+2r31000−1100120011000110=B
行阶梯形矩阵
⋆0⋮0⋮0⋆⋆⋮0⋮0⋯⋯⋯⋯⋆⋆⋮⋆⋮0⋯⋯⋯⋯⋆⋆⋮⋆⋮0
对 B 再进行初等行变换得到 C
Br2−r3r1+r210000100320021000010=C
行最简形矩阵
每一个非零行的非零首元都是 1 , 且非零首元所在列的其余元都为 0
10000100320021000010
对 C 进行初等列变换
Cc3−3c1c4−2c1c3−2c1c4−c210000100000000000010c3↔c510000100001000000000=D
D 称为 A 的标准型
标准型
左上角为一个单位矩阵, 其余元素均为 0
D=10⋮00⋮001⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯00⋮10⋮000⋮01⋮0⋯⋯⋯⋯⋯00⋮00⋮0
任何一个矩阵 A 经过有限次初等变换, 都可化为标准型 D
2.2.2 初等矩阵
定义2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
- 互换 E 的第 i,j 行
- 将 E 的第 i 行乘上 λ
- 将 E 的第 i 行乘上 λ 后, 加到第 j 行
记作
P(i,j)=1⋱10⋮1⋱⋯1⋯⋱1⋮01⋱1 P(i(λ))=1⋱1λ1⋱1 P(i.j(λ))=1⋱1⋯⋱λ⋮1⋱1
初等矩阵所对应行列式均不为零
定理1 对于m×n 矩阵 A , 对 A 进行一次初等行变换, 相当于在 A 左边乘一个 m×n的初等矩阵; 对 A 进行一次初等列变换, 相当于在 A 右边乘一个 n×n的初等矩阵
例如
A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33r1↔r2a21a11a31a22a12a32a23a13a33=A1
相当于
P(1,2)A=010100001a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a21a11a31a22a12a32a23a13a33=A1
若 B 由 A 有限次初等变换得到, 则有
B=PtPt−1⋯P1AQ1Q2⋯Ql
2.2.3 矩阵的等价
定义3 若 A 经有限次初等变换得到 B , 则称 A,B 等价, 记作 A≈B 或 A≅B
矩阵等价关系基本性质
- 自反性 A≈A
- 对称性 若 A≈B , 则 B≈A
- 传递性 若 A≈B,B≈C , 则 A≈C
定理2 A,B 等价的充要条件为 A,B 有相同的标准形
2.2.4 矩阵的秩
定义4 设 A 为 m×n 矩阵, 在 A 中任取 k 行 k 列, 由这 k 行 k 列交叉处的 k2 个元素构成的 k 阶行列式称为矩阵 A 的一个 k 阶子式
定义5 A 中不为零的子式最高阶数称为矩阵 A 的秩, 记作 r(A)
零矩阵的秩为零
非奇异方阵 A 的秩等于它的阶数 (∵∣A∣=0) , 故非奇异方阵又称满秩方阵, 奇异方阵又称降秩方阵
定理3 若 A 中有一个 k 阶子式不为零, 而所有 k+1 阶子式全为零, 则 r(A)=k
- r(A)=0 充要条件为 A=O
- 0≤r(Am×n)≤min{m,n}
- 若 A 中有一个 k 阶子式不为零, 则 r(A)≥k
- r(AT)=r(A),r(kA)=r(A)
- 若 r(A)=r , 则 A 中任何阶数高于 r 的子式全为零
定理4 对矩阵进行初等变换后, 矩阵的秩不便, 即若 A≈B , 则 r(A)=r(B)
例, 求下列矩阵的秩
A=1−223−24−13−120306232−634r2+2r1r3−2r1r4−3r1r2↔r3r3↔r4r3−3r2r4+2r31000−2300−120002−302−110=B
又
100−23002−3=−9
易得 r(B)=3 , 则 r(A)=3
定理5 等价矩阵具有相同的秩
推论1 矩阵 A 经过有限次初等行变换 P1,P2,⋯,Ps 变为矩阵 B , 则
r(B)=r(PsPs−1⋯P1A)=r(A)
推论2 矩阵 A 经过有限次初等列变换 Q1,Q2,⋯,Qt 变为矩阵 B , 则
r(B)=r(AQ1Q2⋯Qt)=r(A)
推论3 矩阵 A 经过有限次初等行变换 P1,P2,⋯,Ps 及有限次初等列变换 Q1,Q2,⋯,Qt 变为矩阵 B , 则
r(B)=r(PsPs−1⋯P1AQ1Q2⋯Qt)=r(A)
2.3 逆矩阵
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义1 设 A 为 n 阶方阵, E 为 n 阶单位矩阵, 若存在 n 阶方阵 B , 使
AB=BA=E
则称矩阵 A 可逆, 称 B 为 A 的逆矩阵
定理1 若矩阵可逆, 则逆矩阵唯一
- (A−1)−1=A
- (λA)−1=λ1A−1
- (AT)−1=(A−1)T
- (AB)−1=B−1A−1
- A−1=∣A∣1=∣A∣−1
推论
- (A1A2⋯Am)−1=Am−1⋯A2−1A1−1
- (Am)−1=(A−1)m
- 若矩阵可逆, 则其逆矩阵也是对称矩阵
A=AT⇒A−1=(AT)−1=(A−1)T
2.3.2 矩阵可逆的条件
定义2 设 n 阶方阵
A=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann
Aij 为行列式 ∣A∣ 中元素 aij 的代数余子式, 则矩阵
A⋆=A11A21⋮An1A12A22⋮An2⋯⋯⋯A1nA2n⋮Ann
称为 A 的伴随矩阵, 即当 A=(aij) 时, A⋆=(aij)T
方阵 A=(aij)n×n 可逆的充要条件是 ∣A∣=0
方阵 A=(aij)n×n 可逆, 有 A−1=∣A∣1A⋆
2.3.3 用初等变换求逆矩阵
定理4 初等变换有如下性质
- P(i,j)−1=P(i,j),∣P(i,j)∣=−1
- P(i(λ))−1=P(i(λ−1)),∣P(i(λ))∣=λ
- P(i,j(λ))−1=P(i,j(−λ)),∣P(i,j(λ))∣=1
初等矩阵的逆矩阵也为初等矩阵
定理5 若 n 阶方阵 A 可逆, 则存在有限个初等矩阵 P1,P2,⋯,Pm , 使
A=P1P2⋯Pm
求逆矩阵
(A∣E)初等行变换(E∣A−1)
或
(EA)初等列变换(A−1E)
例如
A=21−12−12301(A∣E)=21−12−12301∣∣∣100010001→100010001∣∣∣11−1−4−56−3−34A−1=11−1−4−56−3−34
2.3.4 逆矩阵的简单应用
2.3.4.1 解方程组
设 n 个方程 n 个未知量构成的线性方程组矩阵表示为 AX=b , 若 A 可逆, 则方程组解为 X=A−1b
例如
⎩⎨⎧2x1+2x2+3x3=1x1−x2=−1−x1+2x2+x3=3
化为 AX=b
A=21−12−12301, X=x1x2x3, b=1−13A−1=11−1−4−56−3−34, X=A−1b=−4−35
即 x1=−4,x2=−3,x3=5
2.3.4.2 解矩阵方程
( A 矩阵可逆)
- 若 AX=B , 则 X=A−1B
- 若 XA=B , 则 X=BA−1
- 若 AX=AB , 或 XA=BA , 则 X=B
例如
A,B 为三阶矩阵, E 为三阶单位矩阵, 且 AB+E=A2+B , A=10−1020101 , 求 B
AB+E=A2+B⇒AB−B=A2−E, ⇒(A−E)B=(A−E)(A+E)A−E=00−1010100, ∣A−E∣=1=0, 即A−E可逆B=A+E=20−1030102
2.4 分块矩阵
2.4.1 矩阵的分块
A=13−1202450171=(A11A21A12A22)
其中 A11=(12), A12=(41), A21=(3−102), A22=(5071)
为分块矩阵 A 的子块
2.4.2 分块矩阵的计算
2.4.2.1 计算 A±B 时, 要将 A,B 用同样分块方式进行分块, 保证子块同型
2.4.2.2 计算 AB 时, 对 A 列的分法应与对 B 行分法一致, 保证子块能相乘
设 A=(aik)s×n, B=(bkj)n×m , 分块如下
A=A11A21⋮At1A12A22⋮At2⋯⋯⋯A1lA2l⋮Atl B=B11B21⋮Bl1B12B22⋮Bl2⋯⋯⋯B1rB2r⋮Blr
其中每个小矩阵 Aij 为 si×nj 矩阵,
每个小矩阵 Bij 为 ni×mj 矩阵
则
C=AB=C11C21⋮Ct1C12C22⋮Ct2⋯⋯⋯C1rC2r⋮Ctr
其中
Cpq=Ap1B1q+Ap22q+⋯+Apllq=k=1∑lApkBkq (p=1,2,⋯,t;q=1,2,⋯,r)
2.4.2.3 求 AT 时, 将子块作为元素转置后, 再将各子块转置
(A11A21A12A22A13A23)=A11TA12TA13TA21TA22TA23T
若方阵 A 分块后得到如下形式
AB=A1O⋮OOA2⋮O⋯⋯⋯OO⋮Am
其中 Ai(i=1,2,⋯,m) 均为方阵, 称 A 为准对角矩阵
例如
A=130002400000−1200030000001=A1A2A3
为准对角矩阵
准对角矩阵有着类似对角矩阵性质
Ak=A1kA2kA3k
若方阵 A1,A2,⋯,Am 均可逆, 则有
A1A2⋱Am
有逆矩阵, 且
A1A2⋱Am−1=A1−1A2−1⋱Am−1
例 求下面矩阵的逆矩阵
D=a11⋮an1c11⋮cm1⋯⋯⋯⋯a1n⋮annc1n⋮cmn0⋮0b11⋮bm1⋯⋯⋯⋯0⋮0b1m⋮bmm=(ACOB)
解
∣D∣=∣A∣∣B∣⇒A,B可逆,则D可逆设D−1=(X11X21X12X22) 则(ACOB)(X11X21X12X22)=(EnOOEm)乘开得⎩⎨⎧AX11=EnAX12=OCX11+BX21=OCX12+BX22=Em由一二个方程得 X11=A−1,X12=O代入四得 X22=B−1代入三得 X21=−B−1CX11=−B−1CA−1 则 D−1=(A−1−B−1CA−1OB−1)
2.5 矩阵理论在经济学中的应用
投入产出分析
任何国家或地区的经济可以划分成多个部门, 每个部门有双重身份
- 作为生产者将自己的总产出分配给各个部门作为生产资料
- 为进行生产需要消耗其他部门的产品和无知作为投入
现考虑三个部门之间的投入产出情况, 设 C1,C2,C3 三个部门,
- C1 生产一个单位产品需消耗 0.2 个单位 C1 部门产品, 0.4 个单位 C2 部门产品, 0.1 个单位 C3 部门产品,
- C2 生产一个单位产品需消耗 0.3 个单位 C1 部门产品, 0.1 个单位 C2 部门产品, 0.3 个单位 C3 部门产品
- C3 生产一个单位产品需消耗 0.2 个单位 C1 部门产品, 0.2 个单位 C2 部门产品, 0.2 个单位 C3 部门产品
现假设 C1,C2,C3 哥哥们最终产品需求分别为 d1,d2,d3 个单位, 需计算各部门总产出 x1,x2,x3 , 使得供需平衡
对于 C1 , 总产出等于最终产出加上各部门消耗 C1 部门的产品数, 即
x1=d1+0.2x1+0.3x2+0.2x3
同理
x2=d2+0.4x1+0.1x2+0.2x3x3=d3+0.1x1+0.3x2+0.2x3
则有
X=x1x2x3 , d=d1d2d3 , A=0.20.40.10.30.10.30.20.20.2 X=d+AX即 (E−A)X=d 计算得,(E−A)可逆,且 (E−A)−1=1.720.890.550.781.610.700.630.631.56则线性方程组有唯一解 X=(E−A)−1d=1.720.890.550.781.610.700.630.631.56d1d2d3 即⎩⎨⎧x1=1.72d1+0.78d2+0.63d3x2=0.89d1+1.61d2+0.63d3x3=0.55d1+0.70d2+1.56d3
若由 n 个部门 C1,C2,⋯,Cn ,
假设 Ci 部门生产一个单位产品需要消耗 C1,C2,⋯,Cn 各部门产品数分别为
ai1,ai2,⋯,ain , Ci 部门的产品需求量为 di ,
Ci 部门总产出为 xi (i=1,2,⋯,n)
则
xi=di+ai1x1+ai2x2+⋯+ainxn , i=1,2,⋯,n
记
X=x1x2⋮xn , d=d1d2⋮dn , A=a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann
则方程组用矩阵表示为
X=d+AX
$A$ 称为直接消耗系数矩阵
变形得
(E−A)X=d
称为投入产出公式, E−A 称为列昂惕夫矩阵
实际问题中, 列昂惕夫矩阵一般是非奇异的, 它的逆矩阵 (E−A)−1 称为列昂惕夫逆矩阵, 用 R 表示
投入产出公式变形为
X=Rd
利用列昂惕夫逆矩阵, 任何已知的 可预测的的最终产品需求代入上式, 可以确定各部门相应的总产出水平
各种最终需求量变化时, 对各部门的影响也可求
例如, 给 d 以增量 Δd , 则
X+ΔX=R(d+Δd)=Rd+RΔd=X+RΔd
即
ΔX=RΔd
对于前例, 列昂惕夫逆矩阵
R=1.720.890.550.781.610.700.630.631.56
设 Δd=(0,0,10)T , 则
ΔX=RΔd=1.720.890.550.781.610.700.630.631.560010=6.36.315.6
即
Δx1=6.3 , Δx2=6.3 , Δx3=15.6
3 向量空间
3.1 向量
3.1.1 n 维向量及其线性运算
定义1 由 n 个数组成的有序数组 (a1,a2,⋯,an) 称为一个 n 维向量, 记作
α=(a1,a2,⋯,an)
其中数 ai(i=1,2,⋯,n) 称为向量 α 的第 i 个分量或第 i 个坐标
有时 n 维向量也可写成一列的形式, 即
α=a1a2⋮an
上述两种向量分别称为行向量和列向量, 列向量为也记作 $\alpha = (a_1, a_2, \cdots , a_n)^T$
n 维向量可视为 1×n 或 n×1 的矩阵, 则对于 n×m 矩阵 A=(aij)n×m
A=(α1,α2,⋯,αm)=β1β2⋮βn
其中 αj=(a1j,a2j,⋯,anj)T (j=1,2,⋯,m) 为 n 维列向量,
βi=(ai1,ai2,⋯,aim) (i=1,2,⋯,n) 为 m 维行向量
若两个 n 维向量对应分量都相等, 则向量相等
α=(a1,a2,⋯,an) , β=(b1,b2,⋯,bn)ai=bi , i=1,2,⋯,n则 α=β
分量均为零的向量为零向量, 记作 0 , 即 0=(0,0,⋯,0)
向量 (−a1,−a2,⋯,−an) 称为向量 (a1,a2,⋯,an) 的负向量, 记作 −α
定义2 向量加法与数乘
两个 n 维向量
α=(a1,a2,⋯,an) , β=(b1,b2,⋯,bn)
则有
α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)α−β=α+(−β)=(a1−b1,a2−b2,⋯,an−bn)
- α+β=β+α 加法交换律
- (α+β)+γ=α+(β+γ) 加法结合律
- α+0+α
- α+(−α)=0
- 1α=α
- k(lα)=(kl)α 数乘结合律
- k(α+β)=kα+kβ 数乘对加法的分配律
- (k+l)α=kα+lα
- k0=0
- 0α=0
- (−1)α=−α
3.1.2 向量组的线性组合
定义3 设 α1,α2,⋯,αr 为 r 个 n 维向量, k1,k2,⋯,kr 为 r 个实数, 称
k1α1+k2α2+⋯+krαr
为向量组 α1,α2,⋯,αr 的一个线性组合, k1,k2,⋯,kr 称相应的组合系数
若 β 可以表示为向量组 α1,α2,⋯,αr 的一个线性组合, 则称 β 可以由向量组 α1,α2,⋯,αr 线性表示
- 向量组 α1,α2,⋯,αr 中每个向量都可以由该向量组线性表示
αi=0α1+⋯+1αi+⋯+0αr
- 若 ε1=(1,0,0) , ε2=(0,1,0) , ε3=(0,1,1) , 则对于任意 α=(a1,a2,a3)∈R3 , 有
α=a1ε1+a2ε2+a3ε3
即 R3 中任意向量都可由向量组 ε1,ε2,ε1 线性表示
- n 维零向量可以由任一 n 维向量组线性表示
0=0α1+0α2+⋯+0αr
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm 令 αj=a1ja2j⋮amj (j=1,2,⋯,n) , β=b1b2⋮bm 则有 β=x1α1+x2α2+⋯+xnαn则方程是否有解,即是否存在一组数k1,k2,⋯,kn使下列线性关系式成立β=k1α1+k2α2+⋯+knαn
- β 能由向量组 α1,α2,⋯,αn 表示且表示唯一, 等价于方程组有唯一解
- β 能由向量组 α1,α2,⋯,αn 表示且表示不唯一, 等价于方程组有无穷组解
- β 不能由向量组 α1,α2,⋯,αn 表示, 等价于方程组无解
定义4 两向量组
A: α1,α2,⋯,αs ; B: β1,β2,⋯,βt
若向量组 B 中每个元素都能由向量组 A 线性表示, 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示
若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示, 则称这两个向量组等价
若向量组 B 能由向量组 A 线性表示, 则存在系数 kij(i=1,2,⋯,s , j=1,2,⋯,t) , 使
⎩⎨⎧β1=k11α1+k21α2+⋯+ks1αsβ2=k12α1+k22α2+⋯+ks2αs⋯⋯⋯⋯βt=k1tα1+k21α2+⋯+kstαs
上式可简记为
(β1,β2,⋯,βt)=(α1,α2,⋯,αs)k11k21⋮ks1k12k22⋮ks2⋯⋯⋯k1tk2t⋮kst
令 B=(β1,β2,⋯,βt) , A=(α1,α2,⋯,αs) , 则上式表示 B 的列向量组可以由 A 的列向量组表示
令 K=(kij)s×t , 称 K 为向量组 B 由向量组 A 表示的系数矩阵, 简写为
B=AK
定理1 向量组线性表示关系的传递性
若向量组 C: γ1,γ2,⋯,γm 可由向量组 B: β1,β2,⋯,βt 线性表示,
向量组 B: β1,β2,⋯,βt 可由向量组 A: α1,α2,⋯,αt 线性表示,
则向量组 C 可由向量组 A 线性表示
存在矩阵K1,K2有 C=BK1 , B=AK2则 C=BK1=AK2K1=A(K2K1) 则C可由A线性表,系数K=K2K1
向量组之间等价关系也有传递性
例 求下列向量组 B 由向量组 A 线性表示的系数矩阵 K
B: β1=(a11,a21,a31)T,β2=(a12,a22,a32)TA: ε1=(1,0,0)T,ε2=(0,1,0)T,ε3=(0,0,1)T
解
{β1=a11ε1+a21ε2+a31ε3β2=a12ε1+a22ε2+a32ε3(β1,β2)=(ε1,ε2,ε3)a11a21a31a12a22a32 则 K=a11a21a31a12a22a32
3.2 向量组的线性相关性
3.2.1 线性相关与线性无关
定义1 对于向量组 α1,α2,⋯,αs (s≥1) ,
若存在不全为零的实数 k1,k2,⋯,ks , 使
k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0
则称向量组 α1,α2,⋯,αs 线性相关, 否则称之为线性无关
若 α1,α2,⋯,αs (s≥1) 线性无关, 则
k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0
必可得 k1=k2=⋯=ks=0
两个单位向量线性相关即表示它们共线, 三个三位向量线性相关即表示它们共面, 反之仍成立
定理1 向量组 α1,α2,⋯,αs (s≥2) 线性相关,
当且仅当向量组里至少有一个向量可由其余向量线性表示
对于 α1,α2,⋯,αs 若其中一个向量可由其他向量线性表示设 αs=k1α1+k2α2+⋯+ks−1αs−1则 k1α1+k2α2+⋯+ks−1αs−1+(−1)αs=0 反之,若α1,α2,⋯,αs线性相关,则有k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0设ks=0,则αs=−ksk1α1−ksk2α2−⋯−ksks−1αs−1 即αs可由其他向量线性表示
含零向量的向量组一定线性相关
若向量组α1,α2,⋯,αs中α1=0则 1⋅α1+0⋅α2+0⋅α3+⋯+0⋅αs=0
定理2 若向量组中有一个部分组线性相关, 则向量组也线性相关;
若向量组线性无关, 则其任何部分组线性无关
定理3 若向量组 α1,α2,⋯,αs 线性无关,
而向量组 α1,α2,⋯,αs,β 线性相关,
则 β 可由向量组 α1,α2,⋯,αs 线性表示且表示法唯一
k1α1+k2α2+⋯+ksαs+kβ=0 若k=0,则有 k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0且k1,k2,⋯,ks不全为零,这与α1,α2,⋯,αs线性无关矛盾故k=0 则β=−kk1α1−kk2α2−⋯−kksαs即β可由α1,α2,⋯,αs线性表示 若存在两组数t1,t2,⋯,ts , l1,l2,⋯,ls使β=t1α1+t2α2+⋯+tsαs=l1α1+l2α2+⋯+lsαs则 (t1−l1)α1+(t2−l2)α2+⋯+(ts−ls)αs=0 又α1,α2,⋯,αs线性无关,则ti=li (i=1,2,⋯,s) 即,表示法唯一
向量组 α,β,γ 线性无关, 则向量组 α+β,β+γ,γ+α 也线性无关
设有k1,k2,k3使 k1(α+β)+k2(β+γ)+k3(γ+α)=0即 (k1+k3)α+(k1+k2)β+(k2+k3)γ=0 又α,β,γ线性无关,则⎩⎨⎧k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0 由克拉默法则得,此方程组D=2=0,则方程组只有零解,即k1=k2=k3=0则α+β,β+γ,γ+α线性无关
3.2.2 利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性
定理4 设矩阵 A 的秩为 r , 则 A 中存在 r 个行向量(或列向量)线性无关,
且 A 的任一行向量(或列向量)都可由这 r 个行列式线性表示
A=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn=α1α2⋮αm其中 αi=(ai1,ai2,⋯,ain) (i=1,2,⋯,m) 由矩阵秩的定义,A存在一个不为零的r阶子式,设A左上角的r阶子式不为零∣D∣=a11a21⋮ar1a12a22⋮ar2⋯⋯⋯a1ra2r⋮arr=0 若α1,α2,⋯,αr线性相关,则设αr=k1α1+k2α2+⋯+kr−1αr−1 ∣D∣(r1,r2,⋯,rr−1)×(−k1,−k2,⋯,−kr−1)+rr⋯则∣D∣最后一行圈化为零,即∣D∣=0,与假设矛盾则α1,α2,⋯,αr线性无关 α1,α2,⋯,αr向量组中每个向量都能由它本事线性表示,则只需证αk (k>r)时能由向量组线性表示 ∣Dt∣=a11a21⋮ar1ak1⋯⋯⋯⋯a1ra2r⋮arrakra1ta2t⋮artakt, t=1,2,⋯,n t≤r时,Dt最后一列与前面某列相同,∣Dt∣=0t>r时,∣Dt∣为A的r+1阶子式,根据秩的定义,同样∣Dt∣=0 展开∣Dt∣最后一列,得a1tA1+a2tA2+⋯+artAr+akt∣D∣=0A1,A2,⋯,Ar分别为a1t,a2t,⋯,art的代数余子式,取值与t无关 ∣D∣=0⇒akt=−∣D∣A1a1t−∣D∣A2a2t−⋯−∣D∣Arart , t=1,2,⋯,n则 (ak1,ak2,⋯,akn)=−∣D∣A1(a11,a12,⋯,a1n)−⋯−∣D∣Ar(ar1,ar2,⋯,arn)即 αk=−∣D∣A1α1−∣D∣A2α2−⋯−∣D∣Arαrαk可由α1,α2,⋯,αr线性表示 A→AT,则可证关于列向量的结论
推论1 向量组线性相关的矩阵判别法
设 α1,α2,⋯,αs 为一 n 维列向量组, 令
A=(α1,α2,⋯,αs)
为 n×s矩阵,
则 α1,α2,⋯,αs 线性相关的充要条件是 r(A)<s,
线性无关的充要条件是 r(A)=s
特别地, 当 s=n 时, 线性相关充要条件为 ∣A∣=0
推论2 m>n 时, m个n维向量一定线性相关
3.2.3 向量组的秩
定义2 如果向量组 A 中部分组 α1,α2,⋯,αr 满足条件
- α1,α2,⋯,αr 线性无关
- 向量组 A 中每个向量都可由 α1,α2,⋯,αr 线性表示
则称 α1,α2,⋯,αr 为向量组 A 的一个最大无关组或极大无关组
一个向量组的最大无关组与该向量组等价, 且线性无关向量组最大无关组为它本身
例
向量组 α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(2,1,0) 中, α1,α2 线性无关,
而 α3=α1+α2 , 所以 α1,α2 为向量组的一个最大无关组,
同理 α1,α3和 α2,α3 也为向量组的最大无关组
定理5 由有限个行向量 α1,α2,⋯,αs 组成的向量组的任一最大无关组中所含的向量个数均相等,
且等于下列矩阵的秩
A=α1α2⋯αs
证明
设向量组αi1,α12,⋯,αik为向量组α1,α2,⋯,αs的任一最大无关组 令 B=αi1αi2⋮αik 因为αi1,α12,⋯,αik线性无关,由推论1得,r(B)=k又B的行向量都是A的行向量,则B的子式,要么是A的子式,要么与A的子式相差一个符号则B的不为零的子式最高阶数小于或等于A的不为零子式的最高阶数,即k≤r(A) 由于αi1,α12,⋯,αik为向量组α1,α2,⋯,αs的一个最大无关组,则对于每个aj (j=i1,i2,⋯,ik)有 aj=lj1αi1+lj2αi2+⋯+ljkαik Arj+(ri1,ri2,⋯,rik)×(−lj1,−lj2,⋯,−ljk),则第j行化为零 , 通过若干次初等变换,s−k行全为零,从而r(A)≤k k≤r(A)且r(A)≤k,则k=r(A),即向量组的任一最大无关组中所含的向量个数均相等,且等于矩阵A的秩
定义3 向量组的最大无关组中所含向量的个数称向量组的秩
定理6 矩阵 A 的秩等于它行向量组的秩, 也等于它列向量组的秩
例
判断向量组 α1=(1,4,1,0)T,α2=(2,1,−1,−3)T,α3=(1,0,−3,−1)T,α4=(0,2,−6,3)T
是否线性相关, 并求它的秩
构建矩阵A=(α1,α2,α3,α4)=141021−1−310−3−102−63A⋯⋯10002−3001−1−3003−90r(A)=3<4,则向量组线性相关,它的秩为3
例
求上述向量组的一个最大无关组
B=10002−3001−1−3003−90 B左上角的三阶子式不为零,则B前三列三个列向量α1,α2,α3线性无关即α1,α2,α3为向量组α1,α2,α3,α4的一个最大无关组
定理7 若线性无关向量组 α1,α2,⋯,αs 可由向量组 β1,β2,⋯,βt 线性表示, 则 s≤t
证明
设n维列向量αi,βj (i=1,2,⋯,s ; j=1,2,⋯,t),令A=(α1,α2,⋯,αs) , B=(α1,α2,⋯,αs,β1,β2,⋯,βt) 由于A的任一子式都为B的一个子式,咕r(A)≤r(B)又α1,α2,⋯,αs线性无关,则r(A)=s≤r(B) 又alpha1,α2,⋯,αs可由β1.β2,⋯,βt线性表示,则B=(α1,α2,⋯,αs,β1,β2,⋯,βt)→C=(0,0,⋯,0,β1,β2,⋯,βt)则r(B)=r(C)≤t, s≤t
定理7等价表示
向量组 α1,α2,⋯,αs 可由向量组 β1,β2,⋯,βt 线性表示, 且 s>t ,
则向量组 α1,α2,⋯,αs 线性相关
推论3 设向量组秩为 r 向量组中任意多余 r 个向量构成的向量组一定线性相关,
从而向量组中任意 r 个线性无关的向量都构成向量组的一个最大无关组
推论4 向量组任一线性无关部分组都可由扩充为向量组的一个最大无关组
推论5 若两个线性无关向量组 &\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_s$ 和 β1,β2, dots,βt , 则 s=t
推论6 向量组 A 与向量组 B 等价, 则它们有相同的秩
例
向量组 α1,α2,α3 线性相关, 向量组 α2,α3,α4 线性无关, 证明
- α1 能有 α2,α3 线性表示
- α4 不能由 α1,α2,α3 线性表示
证明
α2,α3,α4线性无关,则由定理2,α2,α3线性无关又α1,α2,α3线性相关,由定理3,α1能由α2,α3线性表示 反证法: 假设α4能由α1,α2,α3线性表示,又α1能由α2,α3线性表示则α4能有α2,α3线性表示,与α2,α3,α4线性无关相矛盾
定理8 若向量组线性无关, 则在各向量中相应增加分量后, 所得向量组仍线性无关
设s个m维向量α1,α2,⋯,αs线性无关, 在每个向量中增加n−m个分量后得到n维向量组β1,β2,⋯,βs 先证明分量都添加在各个αi后面是结论成立,即若αi=(ai1,ai2,⋯,aim)T则 βi=(ai1,ai2,⋯,aim,ai,am+1,⋯,ain)T , i=1,2,⋯,s 设 x1β1+x2β2⋯+xsβs=0展开得 ⎩⎨⎧a11x1+a21x2+⋯+as1xs=0a12x1+a22x2+⋯+as2xs=0⋯⋯⋯⋯a1mx1+a2mx2+⋯+asmxs=0a1,m+1x1+a2,m+1x2+⋯+as,m+1xs=0⋯⋯⋯⋯a1nx1+a2nx2+⋯+asnxs=0则方程组前m个方程可写为 x1α1+x2α2+⋯+xsαs=0 又α1,α2,⋯,αs线性无关,则方程只有零解,即方程组只有零解故向量组β1,β2,⋯,βs线性无关 若分量加在αi个分量之间,定理仍成立
推论7 若向量组线性相关, 则在个向量中减少响应和分量之后向量组仍线性相关
3.3 向量空间
3.3.1 向量空间
设 S 为由 n 维向量组成的集合, 若对任意 α,β∈S , 有 α+β∈S ,则称集合 S 关于向量的加法封闭
若对于任意 α∈S,k∈R , 有 kα∈S , 则称集合 S 关于向量的数乘封闭
定义1 设 V 为 n 维向量组成的非空集合, 若 V 关于向量的加法和数乘都封闭, 则称 V 为向量空间
全体 n 维向量的集合就是一个向量空间, 称为 n 维向量空间, 记作 Rn
平面和空间中向量可分别由二维和三位表示, 故 R2, R3 分别为通常都二维和三维空间
例
判断下列哪些是向量空间
A={(a1,0,⋯,0)∣a1∈R}B={(a1,1,0,⋯,0)∣a1∈R}C={(a1,a2,⋯,an)∣a1+a2+⋯+an=0, ai∈R, i=1,2,⋯,n}
解
A是向量空间,∀ α=(a,0,⋯,0), β=(b,0,⋯,0), k∈Rα+β=(a+b,0,⋯,0)∈Akα=(ka,0,⋯,0)∈A即A关于向量的加法和数乘都封闭 B不是向量空间, α=(a,1,0,⋯,0), β=(b,1,0,⋯,0)α+β=(a+b,2,0,⋯,0)∈/B即B关于向量加法不封闭 C是向量空间,∀ α=(a1,a2,⋯,αn), β=(b1,b2,⋯,bn)其中a1+a2+⋯+an=0 , b1+b2+⋯+bn=0,有α+β=(a1+b1,a2+b2,⋯,an+bn)且a1+b1+a2+b2+⋯+an+bn=(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)=0即α+β∈C又∀k ,ka1+ka2+⋯+kan=k(a1+a2+⋯+an)=0kα=(ka1,ka2,⋯,kan)∈C即kα∈C,因此C关于向量的加法和数乘都封闭
3.3.2 子空间
定义2 设 W 是向量空间 V 的一个非空子集, 若 W 关于向量的加法和数乘都封闭, 称 W 为 V 的一个子空间
向量空间 V 的非空子集 W 是 V 的向量子空间当且仅当 ∀α,β∈W, k,l∈R , 有 kα+lβ∈W
向量空间 V 本身和 V 中零向量组成的零空间都是 V 的子空间, 这两个子空间称为平凡子空间, 它们分别构成 V 的最大和最小子空间
$V$ 其他子空间称为非平凡子空间
上述例子中 A,C 都是 Rn 的子空间, 同理
W1={(a1,a2,⋯,an−1,i=1∑n−1ai) ∣ ai∈R,i=1,2,⋯,n−1}W2={(a1,a2,⋯,an) ∣ a1=a2=⋯=an∈R}W3={(a,a+b,a+2b,⋯,a+(n−1)b ∣ a,b∈R)}
都是 Rn 的子空间
设 V 是一个向量空间, α,α2,⋯,αr∈V , 则
W={k1α2+k2α2+⋯+krαr ∣ ki∈R,i=1,2,⋯,r}
是 V 的子空间, 这个子空间称为由 α1,α2,⋯,αr 生成的子空间, 记作 L(α1,α2,⋯,αr)
α1,α2,⋯,αr 称为这个子空间的一组生成元
对于 α∈V,L(α)=kα ∣ k∈R 是由 α 生成的 V 的子空间
设 W1,W2 为向量空间 v 的两个子空间, 则 V 的子集
{α ∣ α∈W1且α∈W2} {α ∣ α=α1+α2,其中α1∈W1,α2∈W2}
都是 V 的子空间, 前者称两个子空间 W1,W2 的交, 记作 W1∩W2 ; 后者称两个子空间 W1,W2 的和, 记作 W1+W2
- 0∈w1,0∈W2⇒0∈W1∩W2
- ∀α,β∈W1∩W2 , α+β∈W1∩W2
W1∩W2 关于向量的加法和数乘都封闭, 是 V 的子空间
W!+W2 也是 V 的子空间
3.3.3 向量空间的基与维数
定义3 设 V 为一个向量空间, α1,α2,⋯,αr∈V , 若
- α1,α2,⋯,αr 线性无关
- V 的任一向量都可由 α1,α2,⋯,αr 线性表示
则称向量组 α1,α2,⋯,αr 为向量空间 V 的一组基, r 称为向量空间 V 的维数, 记作 dim(V)=r
零空间的维度规定为零
把向量空间看做一个向量组, 则其基就是它的一个最大无关组, 其维数就是它的秩
向量空间可以有很多组基, 但每组基所含向量个数相同, 故向量空间维数唯一确定
例
证明 ε1=(1,0,⋯,0),ε2=(0,1,⋯,0),⋯,εn=(0,0,⋯,1)
为 Rn 的一组基, 从而得 Rn 的维数为 n
先证ε1,ε2,⋯,εn线性无关它们构成矩阵E=(ε1,ε2,⋯,εn)=10⋮001⋮0⋯⋯⋯00⋮1r(E)=n,则向量组线性无关 对于∀α∈Rn , 设α=(a1,a2,⋯,an)α=a1ε1+a2ε2+⋯+anε故ε1,ε2,⋯,εn为向量空间Rn的基,且dim(Rn)=n
ε1,ε2,⋯,εn 称为向量空间 Rn 的标准基
设 α1,α2,⋯,αm 是 m 个 n 为向量,
V=L(α1,α2,⋯,αm)={k1α1+k2α2+⋯+kmαm ∣ ki∈R,i=1,2,⋯,m}
则向量组 α1,α2,⋯,αm 的一个最大无关组就是 V 的一组基,
从而向量组 α1,α2,⋯,αm 的秩就等于 V 的维数
定理1 设 V 是一个向量空间, dim(V)=r , 则 V 中任意 r 个线性无关的向量都是 V 的一组基,
且 V 的任一多于 r 个向量的向量组一定线性相关
特别地, 任意 n 个线性无关的 n 维向量都是 Rn 的一组基
定理2 向量空间 V 的任一线性无关向量组都可以扩充为 V 的一组基, 特别地, V 的任一子空间的基都可扩充为 V 的基
3.3.4 向量在给定基下的坐标
设 α1,α2,⋯,αr 是向量空间 V 的一组基, 则 V 中每个向量 α 都可表示为
α=x1α1+x2α2+⋯+xrαr
且有序数组 x1,x2,⋯,xr 是唯一的
定义4 设 α1,α2,⋯,αr 是向量空间 V 的一组基, α∈V , 若
α=x1α1+x2α2+⋯+xrαr
则 r维向量 (x1,x2,⋯,xr) 称为向量 α 在基 alpha1,α2,⋯,αr 下的坐标
Rn 中任意向量在标准基下的坐标为它本身
例
设 α1=(1,1,1)T,α2=(1,1,−1)T,α3=(1,−1,−1)T , 证明 α1,α2,α3 是向量空间 R3 的一组基,
并求 β=(1,2,1)T 在此基下的坐标
令A=(α1,α2,α3),则∣A∣=11111−11−1−1=−4=0故α1,α2,α3线性无关,从而是R3的一组基 令β=x1α1+x2α2+x3α3,即121=x1111+x211−1+x31−1−1=x1+x2+x3x1+x2−x3x1−x2−x3则有 ⎩⎨⎧x1+x2+x3=1x1+x2−x3=2x1−x2−x3=1解得 x1=1,x2=21,x3=−21即β在基α1,α2,α3下的坐标为(1,21,−21)
若 α,β 坐标分别为 (x1,x2,⋯,xr) 及 (y1,y2,⋯,yr) , 则
(x1+y1,x2+y2,⋯,xr+yr)=(x1,x2,⋯,xr)+(y1,y2,⋯,yr)
(λx1,λx2,⋯,λxr)=λ(x1,x2,⋯,xr)
若向量 α 在基 α1,α2,⋯,αr 下坐标为 (x1,x2,⋯,xr) , 即
α=x1α1+x2α2+⋯+xrαr
矩阵符号记作
α=(α1,α2,⋯,αr)x1x2⋮xr
3.3.5 基变换与坐标变换
设 α1,α2,⋯,αr 和 β1,β2,⋯,βr 为 V 的两组基.
由基的定义得, β1,β2,⋯,βr 可以由 α1,α2,⋯,αr 线性表示, 即
⎩⎨⎧β1=a11α1+a21α2+⋯+ar1αrβ2=a12α1+a22α2+⋯+ar2αr⋯⋯⋯⋯βr=a1rα1+a2rα2+⋯+arrαr
写成矩阵的形式为
(β1,β2,⋯,βr)=(α1,α2,⋯,αr)A
其中
A=a11a21⋮a1ra12a22⋮ar2⋯⋯⋯a1ra2r⋮arr
矩阵 A 的第 i 列是 βi 在基 α1,α2,⋯,αr 下的坐标,
称 A 为有基 α1,α2,⋯,αr 到基 β1,β2,⋯,βr 的过渡矩阵,
上式称为基变换公式
由于 β1,β2,⋯,βr 也是一组基, α1,α2,⋯,αr 能由其表示, 即
(α1,α2,⋯,αr)=(β1,β2,⋯,βr)B
从而
(β1,β2,⋯,βr)=(α1,α2,⋯,αr)A=(β1,β2,⋯,βr)BA
由 β1,β2,⋯,βr 线性无关可得 BA=E , 即 B=A−1
设 V 中向量 α 在基 α1,α2,⋯,αr 和基 β1,β2,⋯,βr 中坐标分别为
(x1,x2,⋯,xr) 和 (y1,y2,⋯,yr) , 即
α=(α1,α2,⋯,αr)x1x2⋮xr=(β1,β2,⋯,βr)y1y2⋮yr
代入得
α=(α1,α2,⋯,αr)x1x2⋮xr=(α1,α2,⋯,αr)Ay1y2⋮yr
向量坐标唯一, 可得
x1x2⋮xr=Ay1y2⋮yr
定理3 设 α1,α2,⋯,αr 和 β1,β2,⋯,βr 是向量空间 V 的两组基,
由基 α1,α2,⋯,αr 到基 β1,β2,⋯,βr 过渡矩阵为 A ,
向量 α 在两组基坐标分别为 (x1,x2,⋯,xr) 和 (y1,y2,⋯,yr) , 则
x1x2⋮xr=Ay1y2⋮yr , 或 y1y2⋮yr=A−1x1x2⋮xr
上式称为坐标变换公式
例
已知 β 在基 α1=(1,1,1)T,α2=(1,1,−1)T,α3=(1,−1,−1)T 下的坐标为 (1,21,−21),
求它在标准基 ε1,ε2,ε3 下的坐标
(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)11111−11−1−1=(ε1,ε2,ε3)A A=11111−11−1−1,为由基ε1,ε2,ε3到基α1,α2,α3的过渡矩阵 则向量β在基ε1,ε2,ε3下坐标为x1x2x3=A121−21=11111−11−1−1121−21=121
3.4 欧几里德空间
3.4.1 向量的内积
定义1 设 α=(x1,x2,⋯,xn),β=(y1,y2,⋯,yn) 为两个 n 维向量, 则实数 x1y1+x2y2+⋯+xnyn 称为向量 α,β 的内积, 记作 (α,β) , 即
(α,β)=x1y1+x2y2+⋯xnyn
定义向量内积的向量空间称为欧几里德空间, 简称欧式空间
欧式空间 V 的内积与三位向量空间 R3 中的数量级一样具有以下性质
- 对称性: (α,β)=(β,α)
- 双线性性: (k1α1+k2α2,β)=k1(α1,β)+k2(α2,β)(α,k1β1+k2β2)=k2(α,β1)+k2(α,β2)
- 非负性: (α,α)≥0
3.4.2 向量的长度与夹角
定义2 设 α=(x1,x2,⋯,xn) 为欧式空间 V 中一向量, 定义 α 的长度为
∥α∥=(α,α)=x12+x22+⋯+xn2
向量长度具有以下性质
- 非负性: ∥α∥≥0 , 当且仅当 alpha=0 时, ∥α∥=0
- 正齐次性: ∥kα∥=∣k∣∥α∥
- 三角不等式: ∥α+β∥≤∥α∥+∥β∥
长度为 1 的向量称为单位向量
设 α 为任一非零向量, 则 ∥α∥1α 为单位向量, 即用数 ∥ℵ∥1 乘向量 α , 则将向量单位化
对于欧式空间两个向量 α=(a1,a2,⋯,an),β=(b1,b2,⋯,bn) , 定义它们的距离为 ∥α−β∥ , 即
(a1−b1)2+(a2−b2)2+⋯+(an−bn)2
定理1 向量内积满足柯西不等式
(α,β)2≤(α,α)(β,β) , ∀α,β∈V
等号成立当且仅当 α,β 线性相关
此不等式也写做
∣(α,β)∣≤∥α∥∥β∥
证
若 α,β 线性相关, 设 α=kβ , 则
(α,β)2=(kβ,β)2=k2(β,β)2=(kβ,kβ)(β,β)=(α,α)(β,β)
若 α,β 线性无关, 则 ∀t,tα+β=0 , 则
(tα+β,tα+β)>0
即
(α,α)t2+2(α,β)t+(β,β)>0
则判别式 Δ=4((α,β)2−(α,α)(β,β)) , 即
(α,β)2<(α,α)(β,β)
由可惜不等式得
∥α∥∥β∥∣(α,β)∣≤1
定义3 设 α,β 为欧式空间 V 的两个非零向量, α 与 β 夹角定义为
⟨α,β⟩=arccos∥α∥∥β∥(α,β) , ⟨α,β⟩∈[0,π]
当 (α,β)=0 时, 称 α,β 正交, 记作 α⊥β
α,β 非零时, 它们正交当且仅当它们夹角为 2π
零向量与任意向量都正交
3.4.3 标准正交基
设 α1,α2,⋯,αs 是欧式空间 V 的一组两两相交的非零向量, 则称向量组 α1,α2,⋯,αs 为一正交向量组
正交向量组一定线性无关, 设 α1,α2,⋯,αs 为一正交向量组, 令
k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0
等式两边与 αi 做内积, 得 ks(αi,αi)=0 , 又 αi=0 , 则 (αi,αi)>0 , 故 k−=0 (i=1,2,⋯,s) ,
则 α1,α2,⋯,αs 线性无关s
定义4 欧式空间 V 中有正交向量组构成的基称为 V 的正交基, 若 V 的一组正交基中的向量都是单位向量, 则称它为 V 的标准正交基
若欧式空间 V 维数为 m , 则 V 中 m 个向量 α1,α2,⋯,αm 是 V 的标准正交基的充要条件是
(αi,αj)={0,i=j1,i=j , i,j=1,2,⋯,m
例如, Rn 中, 标准基 ε1,ε2,⋯,εn 就标准正交基
欧式空间标准正交基不是唯一的, 如 R3 中标准基 ε1,ε2,ε3 和向量组
α1=(0,1,0) , α2=(21,0,21) , α3=(21,0,−21)
都是标准正交基
定义5 设 A 为 n 阶矩阵, 若 ATA=E , 则称 A 为一个正交矩阵
- AT=A−1 , 即 ATA=AAT=E
- 若 A 是正交矩阵, 则 AT 也是正交矩阵
- 两个正交矩阵之积也是正交矩阵
- 正交矩阵的行列式等于 1 或 −1
定理2 A 是正交矩阵当且仅当 A 的列向量是 Rn 的一组标准正交基
证
设A=(α1,α2,⋯,αn),按分块矩阵乘法有ATA=(α1,α2,⋯,αn)T(α1,α2,⋯,αn)=α1Tα2T⋮αnT(α1,α2,⋯,αn)=α1Tα1α2Tα1⋮αnTα1α1Tα2α2Tα2⋮αnTα2⋯⋯⋯α1Tαnα2Tαn⋮αnTαn 则ATA=E当且仅当αiTαj=(αi,αj)={1,i=j0,i=j即A的列向量α1,α2,⋯,αn是Rn的一个标准正交基
由 ATA=E 得 AT=A−1 , 所有也有 AAT=E
类似的可证明 A 是正交矩阵当且仅当 A 的行向量是 Rn 的一组标准正交基
因此 , α1,α2,⋯,αn 是 Rn 的标准正交基的充要条件是以 α1,α2,⋯,αn 为列向量构成的矩阵是一个正交矩阵
定理3 设 α1,α2,⋯,αm 是欧式空间 V 的一组基, 则存在 V 的一组标准正交基 β1,β2,⋯,βm , 使 βk 可由 α1,α2,⋯,αk 线性表示
证明
第一步: 正交化
取γ1=α1,则γ1=0再取γ2=α2=(γ1,γ1)(α1,γ1)γ1则γ2可由α1,α2线性表示,又α1,α2线性无关,则γ2=0且有 (γ2,γ2)=(α2,γ1)−(γ1,γ1)(α2,γ1)(γ1,γ1)=0即 γ1⊥γ2 对于1<k<m,可在V中取到正交的非零向量γ1,γ2,⋯,γk−1,且γi可由α1,α2,⋯,αk线性表示又α1,α2,⋯,αk线性无关,则γk=0又γ1,γ2,⋯,γk−1两两正交,且(γk,γi)=(αk,αi)−(γi,γi)(αk,γi)(γi,γi)=0 , i=1,2,⋯,k−1即γ1,γ2,⋯,γk仍两两正交由数学归纳法可知,V中存在一组正交基γ1,γ2,⋯,γm,使γk可由α1,α2,⋯,αk线性表示(k=1,2,⋯,m)
第二步: 单位化
把γ1,γ2,⋯,γm单位化,令βk=∥γk∥1γk , k=1,2,⋯,m则β1,β2,⋯,βm为满足要求的标准正交基
上述定理提供了通过 V 的一组线性无关向量组构造 V 的单位正交向量组的方法, 称为 施密特正交化过程
例
设 V=L(α1,α2,α3 , 其中
α1,(1,1,0,0) , α2=(1,0,1,0) , α3=(−1,0,0,1)
试用施密特正交化过程求 V 的一组标准正交基
令 A=α1α2α3=11−11−0010001r(A)=3,α1,α2,α3线性无关,即α1,α2,α3构成V的一组基 正交化:γ1=α1=(1,1,0,0)γ2=α2−(γ1,γ1)(α2,γ1)γ1=(21,−21,1,0)=21(1,−1,2,0)γ3=α3−(γ1,γ1)(α3,γ1)γ1−(γ2,γ2)(α3,γ2)=(−31,31,31,1)=31(−1,1,1,3) 单位化:βk=∥γk∥γkβ1=(21,21,0,0)β2=(61,−61,62,0)β3=(−121,121,121,123)
定理4 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵, 反之, 由标准正交基经过渡矩阵得到的基也是标准正交基
设 α1,α2,⋯,αm 与 β1,β2,⋯,βm 是 m 维欧式空间 V 的两组基, 其中 α1,α2,⋯,αm 是标准正交基, 且从 α1,α2,⋯,αm 到 β1,β2,⋯,βm 的过渡矩阵 A=(aij) , 即
(β1,β2,⋯,βm)=(α1,α2,⋯,αm)a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1ma2m⋮amm
则 β1,β2,⋯,βm 为标准正交基当且仅当
(βi,βj)=a1ia1j+a2ia2j+⋯+amiamj={1 , i=j0 , i=j
上式等价于
ATA=E
即 A 为正交矩阵
4 线性方程组
4.1 解线性方程组的消元法
4.1.1 线性方程组解的存在性
设 n 个未知元, m 个方程的线性方程组为
⎩⎨⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a21x2+⋯+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm
记
A=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn , X=x1x2⋮xn , b=b1b2⋮bn
则方程组可写作
AX=b
又记
A=a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm
A 和 A 分别称为方程组的系数矩阵和增广矩阵
将系数矩阵 A 按列分块, 即
A=(α1,α2,⋯,αn)
其中 αj=(a1j,a2j,⋯,amj)T (j=1,2,⋯,n) 为系数矩阵 A 的第 j 列, 则方程组又可写作
x1α1+x2α2+⋯+xnαn=b
当向量 b=0 时, 称 AX=b 为非齐次线性方程组;
而称 AX=0 为齐次线性方程组, 它也称线性方程组 AX==b 的导出组
定义1 若线性方程组有解, 则称改方程组是相容的, 否则称为不相容的
线性方程组是否相容与它的系数矩阵 A 和增广矩阵 A 的秩有关,
线性方程组 AX=b 相容性等价于 b 能否用 A 的列向量 α1,α2,⋯,αn 线性表示
若 b 能由向量组 α1,α2,⋯,αn 线性表示, 则向量组 α1,α2,⋯,αn,b 与向量组 α1,α2,⋯,αn 有相同的秩.
又向量组的秩等同于以其为列向量的矩阵的秩, 则 α1,α2,⋯,αn,b 与 α1,α2,⋯,αn 有相同分秩等价于 A 与 A 秩相等
定理1 线性方程组有解或相容充要条件是它的系数矩阵 A 和增广矩阵 A 秩相等, 即 r(A)=r(A)
线性方程组解存在且唯一的充要条件是 b 能由系数矩阵 A 的列向量组 α1,α2,⋯,αn 线性表示且表示方法唯一.
则 α1,α2,⋯,αn 线性无关, 即向量组 α1,α2,⋯,αn 的秩等于 n
定理2 线性方程组存在唯一解的充要条件是它的系数矩阵 A 与其增广矩阵 A 的秩都等于 n , 即 r(A)=r(A)=n
4.1.2 消元法
定理3 设线性方程组 AX=b 的增广矩阵 A=(A,b) 经初等行变换后得到矩阵为 B=(B,d) , 则矩阵 B 所对应的线性方程组 BX=d 与愿方程组 AX=b 同解, 即它们有相同的解集
例 解线性方程组
⎩⎨⎧x1+x2+x3=1x1+2x1−5x3=22x1+3x2−4x3=3
解
对方程组增广矩阵进行初等行变换
A=1121231−5−4123r2+(−1)×r1r3+(−2)×r110011116−6111r1+(−1)×r2r3+(−1)×r11000107−60010
变换后对应阶梯线性方程组
{x1 +7x3=0 x2−6x3=1
它与原方程同解, 取 x3=k , 则 x1=−7k,x2=1+6k , 则原方程解为
⎩⎨⎧x1=−7kx2=1+6kx3=k
求解
⎩⎨⎧x1−x2+5x3−x4=0x1+x2−2x3+3x3=03x1−x2+8x+3+X4=0x1+3x2−9x3+7x4=0
解 (变换系数矩阵)
A=1131−11−135−28−9−1317⋯⋯1000010023−27001200{x1+23x3+x4=0x2−27x3+2x4=0x3=k1,x4=k2⇒⎩⎨⎧x1=−23k1−k2x2=27k1−2k2x3=k1x4=k2
上述方法本质为对线性方程组逐步消元, 称为高斯消元法
求解
⎩⎨⎧x1+x2+2x3+3x4=1x2+x3−4x4=1x1+2x2+3x3−4x4=42x1+3x2−x3−x4=−6
解
A=10121123213−13−4−1−1114−6⋯⋯1000110021203−4101131
因为 r(A)=3,r(A)=4=r(A) , 则原方程组无解
实际上上述矩阵最后一行对应方程为 0x1+0x2+0x3+0x4=1 , 故无解
4.2 齐次线性方程组解的结构
4.2.1 齐次线性方程组有非零解的条件
n 元齐次方程组
AX=0
其中 A 为 m×n 矩阵, 由于零向量总可以由任意向量组表示, 故齐次线性方程组总是相容的, 显然 X=0 为一个解(称为零解或平凡解)
将其写成向量形式
x1α1+x2α2+⋯+xnαn=0
则下面四个命题等价
- 方程有非零解
- 存在不全为零的数 x1,x2,⋯,xn 是方程成立
- α1,α2,⋯,αn 线性相关
- r(A)=r(α1,α2,⋯,αn)<n
定理1 设 A 是 m×n 矩阵, 则为齐次线性方程组 AX=0 有非零解地方充要条件是 r(A)<n
等价命题 nn 元齐次线性方程组 AX=0 只有零解充要条件是 r(A)=n
推论1 设 A 是 m×n 矩阵, 则
- 当 m<n 时, 线性方程组 AX=0 必有非零解
- 当 m=n 时, 线性方程组 AX=0 有非零解的充要条件是 ∣A∣=0
例
判断 λ 为何值时, 下列齐次线性方程组有非零解, 只有零解
⎩⎨⎧x1+λx2+x3=0x1−x2+x3=0λx1+x2+2x3=0
解1
设系数矩阵为 A
A=11λλ−11112⋯⋯100−1λ+10102−λ
则当 λ=2 或 λ=−1 时, ∣A∣=0 , 方程组有非零解
当 λ=2 且 λ=−1 时, ∣A∣=0 , 方程组只有零解
4.2.2 齐次线性方程组解的结构
记 S 为 AX=0 的解集, 则 S 构成一个向量空间, 称之为齐次线性方程组的解空间, 该解空间的一组基, 称为该方程组的一个基础解系
齐次线性方程组的全部解都能由基础解系线性组合表示, 基础解系的线性组合也一定是解, 则只需求齐次线性方程组的一个基础解系 ξ1,ξ2,⋯,ξt , 便可知道所有解
k1ξ1+k2ξ2+⋯+ktξt , k1,k2,⋯,kt∈R
定理2 设 n 元齐次方程组 AX=0 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=r<n , 则齐次线性方程组 AX=0 的解空间是 n−r 维的 , 即 AX=0 的基础解系中含有 n−r 个解向量
r(A)=r<n,则矩阵A至少存在一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式均为零,不妨设左上角的r阶子式不为零,则初等行变换A有c110⋮00⋮0c12c22⋮00⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1rc2r⋮crr0⋮0c1,r+1c2,r+1⋮cr,r+10⋮0⋯⋯⋯⋯⋯c1nc2n⋮crn0⋮0 这里cii=0 (i≤i≤r),则AX=0同解方程组如下⎩⎨⎧c11x1+c12x2+⋯+c1rxr+c1,r+1xr+1+⋯+c1nxn=0c22+⋯+c2rxr+c2,r+1xr+1+⋯+c2nxn=0⋯⋯⋯⋯crrxr+cr,r+1xr+1+⋯+crnxn=0 将xr+1,xr+2,⋯,xn移至方程组右边并逐步回代的方程组一般解⎩⎨⎧x1=d11xr+1+d12xr+2+⋯+d1,n−rxnx2=d21xr+1+d22xr+2+⋯+d2,n−rxn⋯⋯⋯⋯xr=dr1xr+1+dr2xr+2+⋯+dr,n−rxn其中xr+1,xr+2,⋯,xn为任意实数,称之为自由未知量 若取xr+1,xr+2,⋯,xn的n−r组值:xr+1xr+2xr+3⋮xn=100⋮0 , 010⋮0 , ⋯ , 000⋮1则可得齐次线性方程组AX=0的n−r个解向量ξ1=(d11,⋯,dr1,1,0,⋯,0)Tξ2=(d12,⋯,dr2,0,1,⋯,0)T⋯ξn−r=(d1,n−r,⋯,dr,n−r,0,0,⋯,1)T易得ξ1,ξ2,⋯,ξn−r线性无关
下面证明齐次线性方程组 AX=0 的每个解都可由 ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 线性表示
上式中,任取xr+1,xr+2,⋯,xn的一组值k1,k2,⋯,kn−r,的齐次线性方程组AX=0的解为⎩⎨⎧x1=k1d11+k2d12+⋯+kn−rd1,n−rx2=k1d21+k2d22+⋯+kn−rd2,n−r⋯⋯⋯⋯xr=k1dr1+k2dr2+⋯+kn−rdr,n−rxr+1=k1xr+2=k2⋯⋯⋯⋯xn=kn−r 上式写成向量形式为X=(x1,x2,⋯,xn)T=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r所有ξ1,ξ2,⋯,ξn−r是齐次线性方程组AX=0的一组基,从而它的解空间是n−r维的,而上式为齐次线性方程组通解
例
求下列齐次线性方程组的一个基础解系并写出通解
⎩⎨⎧x1+2x2+2x3+x4=02x1+x2−2x3−2x4=0x1−x2−4x3−3x4=0
解
A=12121−12−2−41−2−3⋯⋯100010−220−35340
则原方程组同解方程组为
{x1−2x3−35x4=0x2+2x3+34x4=0
上式中分别取 x3=1,x4=0 和 x3=0,x4=1 , 得到基础解系 ξ1,ξ2
ξ1=(2,−2,1,0)T , ξ2=(35,−34,0,1)T
则原方程组通解为
X=(x1,x2,x3,x4)T=k1ξ1+k2ξ2
即
⎩⎨⎧x1=2k1+35k2x2=−2k1−34k2x3=k1x4=k2 k1,k2∈R
求齐次方程组 AX=0 的通解, 其系数矩阵为
A=1231−12−22−412−536−7
解
A⋯⋯1001−3−1−26210−830−16=B
r(B)=3 , 继续进行初等列变换, 将其第 1,2 和 4 列构成的矩阵化为单位矩阵
B⋯⋯1000100−20001102
则齐次线性原方程组同解线性方程组为
⎩⎨⎧x1+x5=0x2−2x3=0x4+2x5=0
取 x3,x5 诶自由未知量, 分别取 x3=1,x5=0 和 x3=0,x5=1 , 的基础解系 ξ1,ξ2 , 其中
ξ1=(0,2,1,0,0)T , ξ2=(−1,0,0,−2,1)T
而原方程组通解为
X=k1ξ1+k2ξ2
即
⎩⎨⎧x1=−k2x2=2k1x3=k1x4=−2k2x5=k2
求解
⎩⎨⎧x1+x2+x3+4x4−3x5=0x1−x2+3x3−2x4−x5=02x1+x2+3x3+5x4−5x5=03x1+x2+5x3+6x4−7x5=0
解
方程个数 m=4 , 自变量个数 n=5 , m<n , 则方程有无穷多组解
A⋯⋯100001002−1001300−2−100 {x1=−2x3−x4+2x5x2=x3−3x4+x5 , 其中x3,x4,x5为自由自变量 分别令x3x4x5取值100 , 010 , 001 ξ1=(−2,1,1,0,0)T , ξ2=(−1,−3,0,1,0)T , ξ3=(2,1,0,0,1)T X=k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3
设 A=(aij)m×n , B=(sjk)n×l , AB=O , 证明 r(A)+r(B)≤n
证明
记 B=(β1,β2,⋯,βl) , 则从 AB=O 和 AB=(Aβ1,Aβ2,⋯,Aβl) 可知
Aβk=0 , (k=1,2,⋯,l)
即 B 的 l 个列向量都是齐次方程 AX=O 的解, 由于 AX=O 的基础解系含 n−r(A) 的向量 ξ1,ξ2,⋯,ξn−r(A) , 即方程解空间 V 的维数为 n−r(A) , 则 β1,β2,⋯,βl∈V 时, 次组向量的秩不会大于解空间 V 的维数, 即 r(B)≤n−r(A) , 则 r(A)+r(B)≤n
4.3 非齐次线性方程组解的结构
非齐次线性方程组 AX=b , 其中 A 为 m×n 矩阵, b=0 为 m 维列向量, 则 AX=b 有解的充要条件是系数矩阵 A 和增广矩阵 A 的秩相等, 且这两个矩阵的秩都等于未知数个数 n 时 AX=b 有唯一解
由上一节知, AX=0 的解关于线性运算封闭, 对于非齐次线性方程组, 这个性质不再保持. 设 X1,X2 是非齐次线性方程组 AX=b 的解, 因为:
A(X!+X2)=AX1+AX2=b+b=2b=B
则 X1,X2 不再是 AX=b 的解
定理1 设 η1,η2 是非齐次线性方程组 AX=b 的两个解, ξ 是其导出组 AX=0 的解, 则下面四个命题等价
- η1−η2 是导出组 AX=0 的解
- η1+ξ 是线性方程组 AX=b 的解
证
A(η1−η2)=Aη1−Aη2=b−b=0A(η1+ξ)=Aη1+Aξ=b+0=b
定理2 若 η0 是非齐次线性方程组 AX=b 的一个特解, 则非齐次线性方程组 AX=b 的任一解 η 都可表为
η=η0+ξ
的形式, 其中 ξ 是导出组 AX=0 的解
证
η=η0+(η−η0)
由定理1, ξ=η−η0 是导出组的一个解, 且 η=η0+ξ
据定理2, 求出 AX=b 的全部解, 只需找到一个特解以及它的导出组的全部解, 导出组解可由基础解系表示
因此, 只需求 AX=b 的特解和导出组 AX=0 的基础解系表示它的全部解.
若 η0 是非齐次线性方程组的一个特解, ξ1,ξ2,⋯,ξn−r 是其导出组的一个基础解系, 则非齐次线性方程组 AX=b 的任一解 η 都可表为
η=η0+k1η1+k2η2+⋯+kn−rηn−r
其中 k1,k2,⋯,kn−r 为任意实数, r=r(A)<n
例
下列方程是否有解, 若有解, 求解
⎩⎨⎧2x+3y+z=1x+y+2z=24x+7y+7z=−1x+3y+8z=−4
解
先写出线性方程组的增广矩阵, 并初等变换
A=214131731−27812−1−4⋯⋯10000100−75005300
r(A)=r(A)=2<3 , 故原方程有无穷组解
{x1−7x3=5x2+5x3=−3
得到通解表达式
⎩⎨⎧x1=5+7kx2=−3−5kx3=k
写成向量形式
x1x2x3=5−30+k7−51
其中 η0=(5,−3,0)T 为原线性方程组的一个特解, 而 η0=(7,−5,1)T 为导出组的一个基础解系
例
设线性方程组 AX=b 的增广矩阵为
1−32−431−316−12−112−5−13−1−41−9∣∣∣∣−4−14−21
求此线性方程组通解
解
A⋯⋯100001000010−27−4−410−22−4−3302−130
显然 r(A)=r(A)=3<5 , 故线性方程组有无穷多组解
⎩⎨⎧x1−27x4−22x5=2x2−4x4−4x5=−1x3−41x4−33x5=3
令 x4=x5=0 , 的原线性方程组的一个特解 η0=(2,−1,3,0,0)T , 令右端向量为零, 分别取 (x4,x5)=(1,0),(0,1) , 可得导出组的一个基础解系
ξ1=(27,4,41,1,0)T , ξ2=(22,4,33,0,1)T
故原方程的通解为 X=η0+k1ξ1+k2ξ2
例
设四元非齐次线性方程组系数矩阵秩为 3 , 已知 η1,η2,η3 是它的三个解向量, 且 η1=(2,3,4,5)T,η2+η3=(1,2,3,4)T , 求该线性方程组的通解
解
设四元非齐次线性方程组为 AX=b , 则 Aη1=b,Aη2=b,Aη3=b , 又
A⋅21(η2+η3)=21Aη2+21Aη3=21b+21b=b
故 21(η2+η3) 也是线性方程组 AX=b 的解, 因此 η1−21(η2+η3) 是它导出组 AX=0 的解
因为 r(A)=3 , 故 AX=0 的基础解系中只含有一个向量, 又
η1−21(η2+η3)=(23,2,25,3)T=0
故 η1−21(η2+η3) 是 AX=0 的基础解系, 故 AX=b 的通解为
X=η1+k(η1=21(η1+η2))=(2,3,4,5)T+k(23,2,25,3)T
4.4 矩阵的特征值与特征向量
4.4.1 特征值与特征向量
定义1 设 A 是 n 阶方阵, 若存在一个数 λ 和 n 维非零向量 α , 使
Aα=λα
成立, 则称数 λ 为方阵 A 的特征值, 非零向量 α 称为 A 对应于特征值 λ 的特征向量
若 α,β 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量, 则 kα 和 k1α+k2β 也为 A 的属于特征值 λ 的特征向量
设 n 阶矩阵 A 的特征值为 λ , 非零向量 α 为 A 的属于特征值 λ 的特征向量, 则
(λE−A)α=0
因此, 特征向量 α 是齐次线性方程组
(λE−A)X=0
的非零解. 又方程组有非零解充要条件是其系数矩阵为降秩矩阵, 即系数矩阵的行列式
∣λE−A∣=0
因此, λ 是方阵 A 的特征值的充要条件是 ∣λE−A∣=0
定义2 设 A 是 n 阶方阵, 称 f(λ)=∣λE−A∣ 为 A 的特征多项式, 方程 ∣λE−A∣=0 称为 A 的特征方程
由此可知, 矩阵 A 的特征值就是其特征方程的根. 复数范围内, n 阶矩阵 A 有 n 个特征值
矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量就是齐次线性方程组 (λE−A)=0 的非零解
注意: 由于 ∣λE−A∣=(−1)n∣λE−A∣ , 故又是也称 ∣λE−A∣ 为 A 的特征方程
相应的, 矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量是齐次线性方程组 (λE−A)X=0 的非零解
求解一个矩阵 A 的特征值与特征方程的步骤为
- 求出 A 的特征方程 ∣λE−A∣=0 的全部根, 即得 A 的全部特征值 λ1,λ2,⋯,λn
- 将每个特征值 λi 代入齐次线性方程组 (λiE−A)X=0 , 求出基础解系, 就是 A 对应于特征值 λi 的特征向量, 基础解系的线性组合(零向量除外)就是 A 对应于 λi 的全部特征向量
例 求矩阵
A=−1−41130002
的特征值和相应的特征向量
解 A 的特征方程为
∣λE−A∣=λ+14−1−1λ−3000λ−2=(λ−2)(λ−1)2=0
故 A 的特征值分别为 λ1=2,λ2=λ3=1
当 λ=2 时
λE−A=2E−A=34−1−1−10000⋯⋯100010000
因此, 齐次线性方程组 (2E−A)X=0 的一个基础解系为 ξ1=(0,0,1)T , 从而矩阵 A 的属于特征值 λ=2 的一个特征向量为 ξ1=(0,0,1)T
当 λ=1 时
E−A=24−1−1−2000−1⋯⋯100010120
因此, 齐次线性方程组 (E−A)X=0 的一个基础解系为 ξ2=(−1,−2,1)T , 从而矩阵 A 的属于特征值 λ=1 的一个特征向量为 ξ2=(−1,−2,1)T
综上, k1ξ1,k2ξ2 分别为 A 的属于特征值 2 和 1 的特征向量
例 求矩阵
A=1111111111111111
的特征值和特征向量
解
A 的特征多项式
f(λ)=∣λE−A∣=λ−1−1−1−1−1λ−1−1−1−1−1λ−1−1−1−1−1λ−1
把行列式二三四列加到一列, 得
f(λ)=λ−4λ−4λ−4λ−4−1λ−1−1−1−1−1λ−1−1−1−1−1λ−1=(λ−4)1111−1λ−1−1−1−1−1λ−1−1−1−1−1λ−1=(λ−4)1000−1λ00−10λ0−100λ=λ3(λ−4)
故 A 的特征值为 λ1=λ2=λ3=0,λ4=4
当 λ=0 时, (λE−A)X=−AX=0 的基础解系为方程
x1+x2+x3+x4=0
的基础解系, 即 ξ1=(−1,−1,0,0)T,ξ2=(−1,0,1,0)T,ξ3=(−1,0,0,1)T
故 A 的输入 λ=0 的特征向量为全体 k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3
当 λ=4 时
4E−A=3−1−1−1−13−1−1−1−13−1−1−1−13100001000010−1−1−10
因此, 齐次线性方程组 (4E−A)X=0 的一个基础解系为 ξ4=(1,1,1,1)T , 而 k4ξ4 是 A 的属于 λ=4 的全部特征向量
4.4.2 特征值与特征向量的性质
性质1 n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵 AT 有相同的特征值
证
λE−AT=(λE−A)T=∣λE−A∣
则 AT 和 A 有相同的特征多项式
性质2 设 A=(aij) 是 n 阶矩阵, 则
f(λ)=∣λE−A∣=λ−a11−a21⋮−an1−a12λ−a22⋮−an2⋯⋯⋯−a1n−a2n⋮λ−annλn−(a11+a22+⋯+ann)λn−1+⋯+(−1)n∣A∣
设 λ1,λ2,⋯,λn 是 A 的 n 个特征值, 则由 n 次代数方程组的跟据系数关系知
- λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann
- ∣A∣=λ1λ2⋯λn
其中 A 的主对角线元素之和 a11+a22+⋯+ann 称为矩阵 A 的迹, 记作 tr(A)
由性质2可知, 若 A 可逆, 则 A 的特征值都不等于零, 而 A 是奇异矩阵时, A 至少有一个零特征值
性质3 设 λ 是矩阵 A 的特征值, α 是 A 的属于特征值 λ 的特征向量, 则
- kλ 是 kA 的特征值 (k∈R)
- λm 是 Am 的特征值 (m是正整数)
- 当 A 可逆时, λ−1 是 A−1 的特征值
而且, α 仍是 kA,Am,A−1 分别属于特征值 kλ,λm,λ−1 的特征向量
证明 3
若 Aα=λα , 由 λ=0 知
λ=A−1λα , A−1α=λ1α
故 λ1 是 A−1 的特征值, 同时 α 是 A−1 的输入 λ1 的特征向量
例 设三阶矩阵 A 的特征值为 1,−1,2 , A∗ 为 A 的伴随矩阵, 求 ∣A∗+3A−2E∣
解
因为 A 的特征值全不为零, 则 A 可逆. 由 A∗A=∣A∣E 以及 ∣A∣=λ1λ2λ3=−2 知, A∗=−2A−1 . 所以, 令
B=A∗+3A−2E=−2A−1+3A−2E
则 B 有特征值 −1,−3,3 (一般地, 当 A 有特征值 λ 时, aA+bE 有特征值 aλ+b), 从而
∣A∗+3A−2E∣=∣B∣=(−1)⋅(−3)⋅3=9
性质4 n 阶矩阵 A 的互不相同的特征值 λ1,λ2,⋯,λn 对应的特征向量 α1,α2,⋯,αn 线性无关
证 数学归纳法
已知 Aαi=λiαi (i=1,2,⋯,m)
当 m=1 时, α1=0 , 结论成立
假设 m−1 时结论成立
设有常数 k1.k2.⋯,km , 使
k1α1+k2α2+⋯+km−1αm−1+kmαm=0
用矩阵 A 左乘上式
k1Aα1+k2Aα2+⋯+km−1Aαm−1+kmAαm=0
代入 Aαi=λiαi (i=1,2,⋯,m)
k1λ1α1+k2λ2+α2+⋯+km−1λm−1αm−1+kmλmαm
上式减去 λm 倍一式, 消去 αm , 得
k1(λ1−λm)α1+k2(λ2−λm)α2+⋯+km−1(λm−1−λm)αm−1=0
假设 m−1 时成立, 即 α1,α2,⋯,αm−1 线性无关, 则
ki(λi−λm)=0 (i=1,2,⋯,m−1)
因为 λ1,λ2,⋯,λm 互不相同, 则
ki=0 (i=1,2,⋯,m−1)
代入一式得 kmαm=0 , 而 αm=0 , 则 km=0 , 同理
k1=k2=⋯=km=0
即 α1,α2,⋯,αm 线性无关, 证毕
4.5 矩阵的相似对角化
4.5.1 相似矩阵的概念和性质
定义1 设 A,B 都是 n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵 P , 使
P−1AP=B
则称 B 是 A 的相似矩阵, 并称矩阵 A 与 B 相似, 记作 A∼B
矩阵的相似关系是一种等价关系, 满足
- 自反性 : A∼A
- 对称性 : 若 A∼B , 则 B∼A
- 传递性 : 若 A∼B,B∼C , 则 A∼C
证明第三个
若 A∼B,B∼C , 则分别存在可逆矩阵 P,Q , 使
P−1AP=B , Q−1BQ=C
故
C=Q−1(P−1AP)Q=(Q−1P−1)A(PQ)=(PQ)−1A(PQ)
则 A∼C
例 设矩阵 A=(351−1) , B=(400−2) , 试严重存在可逆矩阵 P=(111−5) , 使 A∼B
易证 P 可逆, 且 P−1=(656161−61) , 由
P−1AP=51(511−1)(351−1)(111−5)=(400−2)=B
得 A∼B
性质1 若 A∼B , 则 r(A)=r(B) , 即相似矩阵有相同的秩
若 A∼B , 则 A≈B(等价) , 故 r(A)=r(B)
性质2 相似矩阵行列式相等
P−1AP=P−1∣A∣∣P∣=P−1∣P∣∣A∣=P−1P∣A∣=∣E∣∣A∣=∣A∣
性质3 相似矩阵具有相同和可逆性, 当他们可逆时, 他们的逆矩阵也相似
若 A,B 相似且都可逆, 则存在非奇异矩阵 P , 使
P−1AP=B
于是
B−1=P−1A−1P
即 A−1,B−1 相似
性质4 若 A∼B , 则 A.B 存在相同的特征多项式, 从而欧相同的特征值
证
∣λE−B∣=λE−P−1AP=P−1(λE−A)P=P−1∣λE−A∣∣P∣=∣λE−A∣
即 A,B 有相同的特征多项式, 均为 f(λ)=(λ−4)(λ+2) , 故 A,B 有相同的特征值 λ1=4,λ2=−2
4.5.2 矩阵与对角矩阵形似的条件
规定对角矩阵
Λ=λ1λ2⋱λn
可简记为 Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn)
定理1 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λn) 相似的充要条件为矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量
证
必要性 若 A 与 Λ 相似, 则存在可逆矩阵 P 使得
P−1AP=Λ
设 P=(p1,p2,⋯,pn) , 其中 pi (i=1,2,⋯,n) 为 P 的列向量, 则由 AP=PΛ 得
A(p1,p2,⋯,pn)=(p1,p2,⋯,pn)λ1λ2⋱λn
即
Api=λipi (i=1,2,⋯,n)
因为 P 可逆, 则 ∣P∣=0 , 从而 pi (i=1,2,⋯,n) 都是非零向量. 因此 p1,p2,⋯,pn 都是 A 的特征向量, 且它们线性无关
充分性 设 p1,p2,⋯,pn 为 A 的 n 个线性无关的特征向量, 它们所对应的特征值为 λ1,λ2,⋯,λn , 则有
Api=λipi/(i=1,2,⋯,n)
令 P=(p1,p−2,⋯,pn) , 易知 P 可逆, 且
AP=A(p1,p2,⋯,pn)=(Ap1,Ap2,⋯,Apn) =(λ1p1,λ2p2,⋯,λnpn) =(p1,p2,⋯,pn)λ1λ2⋱λn
推论1 若 n 阶矩阵 A b 个互异的特征值 λ1,λ2,⋯,λn